Das Geburtstagsparadoxon
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von beliebig ausgewählten Personen 2 Personen am gleichen Tag Geburtstag haben?
Der 29. Februar sei zur Vereinfachung der Rechnung ausgeschlossen.
Man geht das Problem dergestalt an, dass man zunächst einmal vom Gegenteil (der Komplementärmenge) ausgeht, d.h. die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass in der Gruppe jede Person an einem verschiedenen Tag Geburtstag haben soll. Danach erst ermittelt man die Wahrscheinlichkeit P, dass nicht jede Person an einem verschiedenen Tag sondern mindestens 2 an demselben Tag Geburtstag haben, mit
Für jede Person ist die Wahrscheinlichkeit Q, an irgendeinem der 365 Tage im Jahr Geburtstag zu haben:
Anzahl der zur Auswahl stehenden Tage
Q = ———————————————————
Anzahl der möglichen Tage |
| Für die 1. Person ergibt sich daher Q1 = |
365
———
365 |
Für die 2. Person steht der Geburtstag der 1. Person schon nicht mehr zur Auswahl.
| Daher gilt für die 2. Person Q2 = |
364
———
365 |
Für die 3. Person stehen die Geburtstage der 1. Person und der 2. Person nicht mehr zur Auswahl.
| Daher gilt für die 3. Person Q3 = |
363
———
365 |
= |
365 – 3 + 1
——————
365 |
Nachdem man nun die Einzelwahrscheinlichkeiten für jede Person der Gruppe berechnet hat, muss die Wahrscheinlichkeit der Gruppe als Gesamtheit berechnet werden, dass jede Person an einem verschiedenen Tag Geburtstag hat. Das geschieht durch Multiplikation der Einzelwahrscheinlichkeiten
| Q = |
Q1 · Q2 · Q3 |
| |
| = |
365 · 364 · 363
———————
3653 |
| |
| = |
365!
——————
362! · 3653 |
|
Ganz allgemein ist die Wahrscheinlichkeit dass n (2<= n <=365) Personen alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben:
| Q |
= |
365!
——————
(365-n)! · 365n |
|
Also gilt für das Ausgangsproblem: Es gibt in einer Gruppe von 10 Personen mindestens 2 Personen, die am selben Tag Geburtstag haben.
| Die Wahrscheinlichkeit P = | 1 - Q |
| |
| = | 1 - |
365!
——————
355! · 36510 |
| |
| = | 1 - |
356 · 357 · 358 · 359 · 360 · 361 · 362 · 363 · 364
——————————————————————
3659 |
| = | 0,11695... |
Allgemein gilt mit n = Anzahl der Personen in der Gruppe:
| P = 1 - |
365!
———————
(365-n)! · 365n |
|
Literatur: Dtv-Atlas zur Mathematik
aufbereitet von Anneliese Kröger-Block